Фамилия Гаврикина — женская форма, мужская соответственно — Гаврикин. В основе лежит каноническое имя Гавриил (в бытовой русской традиции — Гаврила), что значит «Божья крепость» или «сила Божья». Но если большинство фамилий на -ин образовано от имён с окончанием на -а/-я (Гаврила — Гаврилин, Гаврилкин), то здесь работает редкий суффикс -ик-.

Суффикс -ик- в русских фамилиях встречается нечасто и указывает на прозвищное происхождение. Скорее всего, Гаврикин — это не прямой патроним («сын Гаврилы»), а фамилия, образованная от прозвища Гаврика. В диалектах «гаврика» могли называть простоватого, наивного или, наоборот, хитрого парня — слово это бытовало в южнорусских и украинских говорах. То есть предок носителя фамилии получил уличное прозвище, которое со временем закрепилось как родовое имя.

Географически фамилия Гаврикина тяготеет к югу России и Поволжью. В документах XVIII–XIX веков она встречается среди крестьян и мещан Курской, Воронежской, а позже и Саратовской губерний. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано — это однозначно крестьянская или посадская среда, где прозвища давали по бытовым приметам, а не по родству.

Интересно, что ударение в фамилии плавающее: в средней полосе чаще говорят Гаври́кина, на юге — Гаврикина́. Второй вариант ближе к украинской манере ставить ударение на последний слог. Если ваши предки с юга, это может быть дополнительной подсказкой в поиске корней.