Фамилия Гавзинский — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет прозрачного корня, как, скажем, в Кузнецове или Попове, поэтому разбирать её стоит через суффикс и географию.

Суффикс -ский указывает на польское, украинское, белорусское или западнорусское происхождение. В шляхетской среде такие фамилии часто образовывались от названий имений. То есть носитель фамилии Гавзинский, скорее всего, происходил из места, которое называлось Гавзино или Гавзы. Если такого населённого пункта не сохранилось, это могло быть небольшое сельцо или хутор, исчезнувший с карты.

Самая вероятная основа — прозвище или имя Гавза. Его происхождение спорно. Первая версия: «гавза» в некоторых южнорусских и белорусских говорах означало «ротозей», «раззява» или «неряха». В этом случае фамилия образована от прозвища, которое дали человеку за невнимательность или неопрятность. Вторая версия: «гавза» — вариант имени Гавриил в простонародной форме (ср. Гавша, Гавзик). Такое стяжение характерно для украинской и белорусской антропонимии. Третья, менее вероятная, — связь с тюркским «гавза» (сосуд, чаша), но для славянских земель это экзотика.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Гавзов, Гавзиков — подтверждает, что основа «гавз-» существовала в прозвищной среде. Встречаемость фамилии Гавзинский крайне низкая: её нет в массовых списках дворянских родов, нет в переписях XIX века по центральным губерниям. Это говорит о том, что фамилия либо локальная (например, из западных губерний Российской империи), либо поздняя, возникшая в мещанской или крестьянской среде уже в XIX веке при переходе на фамилии по географическому принципу.

Таким образом, предок носителя фамилии Гавзинский мог жить в хуторе Гавзино где-то на западе современной Украины или Беларуси. Либо его предком был человек с прозвищем Гавза — и тогда фамилия отвечает на вопрос «чей?»: сын Гавзы, а потом уже Гавзинские.