Фамилия Гайса — редкий случай, когда основа не обросла типичными русскими суффиксами. Она сохранилась в исходном виде, без добавления -ов или -ин, что сразу указывает на её нерусское происхождение. Скорее всего, перед нами фамилия тюркского или арабо-мусульманского корня, записанная на слух.

Самое вероятное объяснение: Гайса — это вариант имени Иса (Иисус в исламе). В тюркских языках, особенно у башкир и татар, имя Иса часто произносится как «Ғайса» (Гайса), с характерным гортанным звуком. Фамилию могли дать либо по отцу (сын Гайсы), либо она закрепилась за человеком, которого в деревне знали под этим именем. В русских документах XIX века такие имена записывали без суффиксов, особенно в среде крестьян и мещан, где фамилии только оформлялись.

Вторая версия, менее распространённая, связывает фамилию с арабским словом «гайс» (туча, облако) или «гайса» (высокий, могучий). Но в ономастике чаще опираются на антропонимику — то есть на личное имя, а не на нарицательное слово. Поэтому версия с именем Иса надёжнее.

Географически фамилия Гайса встречается в Башкортостане, Татарстане, Оренбургской области, а также среди казахских и киргизских родов. Если ваши предки — из этих мест, то, скорее всего, они были мусульманами, тюркского происхождения, и фамилия передалась напрямую от имени деда или прадеда.

Однокоренные варианты — Гайсин, Гайсанов, Гайсуллин — встречаются чаще, так как суффикс -ин или -ов адаптирует основу под русскую грамматику. Форма без суффикса говорит либо о более позднем оформлении фамилии, либо о сохранении национального звучания при записи в метриках.