Фамилия Гаюшкина — женская форма фамилии Гаюшкин, и её разбор стоит начать с редкого и неочевидного корня. В отличие от большинства фамилий на -ин, образованных от имён или прозвищ на -а/-я (Иван — Иванов, но Ивашка — Ивашкин), здесь основа «Гаюшк-» вызывает вопросы. Первое, что приходит на ум — связь со словом «гай» (лес, роща), но тогда ожидалась бы фамилия Гаев или Гаёв. Суффикс -ушк- в русских фамилиях обычно указывает на уменьшительно-ласкательную форму имени или прозвища: Гаврюшка от Гаврила, Матюшка от Матвей. Следовательно, Гаюшка — это производное от какого-то личного имени или прозвища.

Наиболее вероятная версия: Гаюшка — это народная форма крестильного имени Гай или Гаий. Имя Гай (от латинского «радость») встречалось в святцах, но было редким, поэтому в быту его часто переделывали в уменьшительные варианты. Фамилия Гаюшкин могла закрепиться за потомками человека, которого в документах или в деревне звали Гаюшкой. Вторая, менее распространённая гипотеза — прозвищное происхождение от диалектного слова «гаюшка» (так в некоторых говорах называли лесную опушку или поляну в лесу). В этом случае прозвище мог получить человек, живший у такого места.

Географически фамилия Гаюшкин (и Гаюшкина) тяготеет к южнорусским и центральным областям, где слово «гай» встречается чаще, чем на севере. Встречается она нечасто, что подтверждает её происхождение от редкого имени или узколокального прозвища. Сословной привязки нет: Гаюшкины могли быть и крестьянами, и мещанами — фамилия образована по стандартной модели, без указания на знатность. Единственное, что можно сказать уверенно: предок носительницы этой фамилии, мужчина по имени или прозвищу Гаюшка, жил не позднее XVII–XVIII века, когда фамилии на -ин окончательно закрепились в русском простонародье.