Фамилия Гайжевский — яркий пример фамилии на -ский, которые в польской и западнорусской традиции чаще всего указывали на дворянское происхождение или владение землёй. Такие фамилии образовывали от названия родового имения (поместья), и Гайжевский, скорее всего, происходит от топонима Гайжево или Гайжев. Корень «гай-» здесь не случаен: в польском и белорусском языках gaj — это роща, лесок, дубрава. То есть Гайжево — это «местечко у рощи» или «поселение в лесу». Суффикс -ев-/-ов- в основе указывает на принадлежность, а финальное -ский — на связь с местом.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная — происхождение от личного прозвища Гайжа. В польских говорах «gajża» могли называть бродягу, шатуна или человека, который «ходит по гайкам» (лесам). Однако дворянские фамилии на -ский крайне редко образовывали от прозвищ — для этого существовали суффиксы -ович/-евич. Поэтому версия с географическим названием остаётся основной.

Фамилия типична для бывшей Речи Посполитой: встречается у поляков, белорусов и украинцев. В России Гайжевские — это, как правило, потомки шляхты, которая после разделов Польши перешла на русскую службу или была переселена в центральные губернии. В XIX веке носители фамилии фиксировались среди мелкопоместных дворян и однодворцев (особенно в южных уездах). Массовой фамилия не стала, поэтому её носителей немного — это редкая, хорошо локализованная фамилия.

Обратите внимание на написание: Гайжевский, а не Гайжевский. В польском оригинале фамилия могла выглядеть как Gajżewski или Gajziewski, а при переходе в русский язык твёрдое «ж» закрепилось. Если бы фамилия была чисто русской, в ней стоял бы суффикс -ов (Гайжев), но -ский выдает западнославянскую или литовско-польскую основу.

Коротко: предок Гайжевского владел или жил в местечке, которое называли «лесным» — Гайжево. Фамилия — не про профессию и не про характер, а про малую родину и социальный статус шляхтича.