Фамилия Гажонов — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Если отбросить интуитивное желание искать в ней корень «газ» или «гаж», становится понятно, что перед нами типичная «фонетическая» русская фамилия, у которой, скорее всего, было другое исходное написание.

Словообразовательная модель стандартна: суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?»), и основа Гажон. Сама основа Гажон — это, вероятнее всего, народная, диалектная или записанная на слух форма имени или прозвища. Самое правдоподобное объяснение: Гажонов — это вариант фамилии Газонов или Гожонов. В русских говорах, особенно в южнорусских и белорусских, звук [з] перед звонким согласным или в потоке речи мог озвончаться и переходить в [ж], а безударное [о] редуцироваться. Так «Газонов» на слух превращалось в «Гажонов», и это написание закрепилось в документах.

Если отталкиваться от версии «Газонов», то основа восходит к слову «газ» — в значении «вид тонкой прозрачной ткани» (газ, газовая косынка). Прозвище Газон могли дать торговцу этим материалом или, в переносном смысле, человеку, который носил одежду из такой ткани, возможно, щеголю. Менее вероятно, но возможно, что в основе лежит некалендарное имя или прозвище Гожон — от древнерусского «гожий» (годный, пригожий, красивый). В этом случае фамилия означала бы «сын пригожего человека».

Третий, совсем редкий путь — тюркское влияние. В тюркских языках есть корень «гаж» или «гадж» (с разными значениями, от «сокровище» до «чужеземец»), но для фамилии Гажонов это экзотическая гипотеза: суффикс -ов типичен для русской среды, а не для тюркской ономастики.

Географически фамилия встречается точечно, без явного «гнезда». Её носители — это, скорее всего, потомки крестьян или мещан из регионов, где было сильно влияние белорусского или южнорусского произношения (Брянщина, Смоленщина, Черноземье). По сословной принадлежности — почти наверняка недворянская фамилия, так как у знатных родов редко встречаются такие фонетически искажённые формы.

Итог: Гажоновы — это, с высокой долей вероятности, «фонетические родственники» Газоновых или Гожоновых. Фамилия не древняя, а бытовая, возникшая в среде малограмотных писарей, которые записывали прозвище предка на слух. Искать её корни стоит в южнорусских говорах, среди прозвищ, связанных с тканью или внешностью.