Фамилия Гивоев — довольно редкая, и её происхождение нужно искать не в славянской, а в кавказской языковой среде. В первую очередь, она указывает на осетинские корни. Основа фамилии — личное имя Гиво (или Гива), которое является осетинской формой имени Тимофей. В осетинском языке начальное «т» в заимствованных именах часто переходило в «г» (ср. Георгий — Гоги, Давид — Дауыт). Таким образом, Гивоев буквально означает «потомок Гиво», то есть Тимофея.

Обратите внимание на суффикс -ев. В русской традиции оформления фамилий народов Кавказа этот суффикс выполняет ту же роль, что и в великорусских фамилиях — указывает на принадлежность к роду («чей?»). Однако в самом осетинском языке фамилии образуются иначе: с помощью суффиксов -ты/-та (например, Гивойта), что в русской записи превратилось в Гивоев. Поэтому перед нами не чисто русская фамилия, а осетинская, адаптированная под русскую грамматику при включении в имперскую документацию.

Географически фамилия Гивоев встречается в основном среди осетин, особенно в Северной Осетии. В прошлом носители этой фамилии, скорее всего, были членами одного родового клана (фамилии у осетин — это строгая патронимическая группа), жившего в определенном селении или ущелье. Осетины традиционно занимались скотоводством и земледелием, а в XIX веке многие служили в терском казачьем войске, так что предки могли быть и военными.

Словообразовательная модель здесь проста и прозрачна, но необычна для русского уха: корень Гиво- плюс фамильный суффикс -ев. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Гиво́ев, хотя в бытовой речи возможны варианты. Споров о происхождении почти нет: версия об осетинском имени Тимофей — единственная убедительная, и попытки вывести фамилию от русского диалектного «гивый» (гнилой) или от украинского «гив» (гнев) лишены исторической и географической опоры.

Если ваши предки — Гивоевы, то с высокой вероятностью они происходят из осетинского рода, который сохранил имя родоначальника в своей фамильной памяти. В советское время фамилия могла распространиться и за пределы Кавказа, но её корни остаются привязанными к этому региону.