Фамилия Горжени — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её форма сразу бросается в глаза: окончание -и в русских фамилиях обычно указывает на модель родительного падежа множественного числа, характерную для фамилий на -их / -ых (типа Седых, Долгих). Но здесь корень заканчивается на -ж, и ударение, скорее всего, падает на последний слог: Горжени́. Это заставляет думать, что перед нами не исконно русская фамилия, а заимствованная или переоформленная.

Самая вероятная версия — фамилия Горжени восходит к грузинской фамилии Горджани / Горджанидзе (გორჯანი). В грузинском языке «горджани» означает «кизил» — растение с ярко-красными ягодами. При переходе в русскую среду окончание могло упроститься: отпал грузинский суффикс -дзе, и фамилия закрепилась в форме Горжени. В пользу этой гипотезы говорит и то, что фамилии с конечным -и в русском языке нередко имеют грузинские корни (например, Церетели, Орджоникидзе, но в усечённом виде — Джугашвили часто сокращалось до Джугаи). Кроме того, «Горжени» географически тяготеет к югу России и Северному Кавказу, где грузинское влияние было сильным.

Менее вероятная версия — связь с русским диалектным словом «горжень» или «горжонок» (в некоторых говорах так называли горшок, кувшин). Но тогда фамилия должна была бы звучать как Горженев, Горженин или Горжонков — с типичными русскими суффиксами. Форма Горжени без патронимического суффикса для исконно русской фамилии нетипична, поэтому эта гипотеза слабая.

Есть и третий, совсем экзотический вариант: фамилия могла возникнуть от прозвища Горжень — человека, который «горжанится» (то есть важничает, задирает нос). В этом случае форма Горжени могла бы быть родительным падежом от прозвища (Горжени — «из семьи Горжени»), но такая модель в русской ономастике встречается редко и обычно у фамилий на -их (Горжених, а не Горжени).

Таким образом, основная версия — грузинское происхождение от слова «кизил». Если ваши предки носили фамилию Горжени, скорее всего, они имели отношение к Грузии или к грузинской диаспоре на юге России, а сама фамилия когда-то звучала как Горджани или Горджанидзе.