Фамилия Грабавая — один из тех случаев, когда географический акцент слышен сразу. Ударение на последнем слоге и окончание «-ая» выдают в ней типичную южнорусскую или украинскую модель образования. Это не отчество (как Иванов или Петров), а прилагательное, отвечающее на вопрос «чей?» или «какой?». Такие фамилии в старину давали по месту жительства или по характерному признаку, и в данном случае корень указывает на дерево.

Основа «граб» — это граб, лиственное дерево с плотной древесиной. В украинском и белорусском языках слово «граб» означает то же самое, а в польском «grab» — ещё и «грабина». Фамилия Грабавая могла возникнуть как прозвище человека, жившего у грабовой рощи, или как указание на его занятие — например, он обрабатывал грабовую древесину, которая ценилась в столярном и токарном деле за твёрдость. Слово «грабавий» (или «грабовий») в диалектах могло означать «относящийся к грабу», а суффикс «-ав-» здесь скорее вариант народного произношения, чем отдельная морфема.

Есть и бытовая версия. В некоторых говорах «грабать» означало «грести, сгребать», а «грабаватый» — «хватающий, загребущий». Но она менее вероятна: прозвища от глаголов обычно давались по действию («Грабай»), а не по качеству, и фамилии от них чаще образуются через суффикс «-ев» (Грабаев). Форма на «-ая» крепче привязана к месту.

Фамилия редкая. Встречается в основном на западе Украины, в Беларуси и в приграничных с ними областях России — Брянской, Смоленской. Если ваши предки носили фамилию Грабавая, скорее всего, они были крестьянами или мещанами из лесной зоны, где граб рос в изобилии. В дворянских родословных эта фамилия не зафиксирована — её не жаловали за службу, а давали по месту жительства, что указывает на простое происхождение.

Другие варианты написания — Грабовая, Грабовая, Грабавий — встречаются как орфографические дублеты, но именно форма «Грабавая» с ударением на последний слог — самая характерная для западных диалектов. В современной России её носители есть, но их немного.