Фамилия Грыцаюк звучит необычно для русского уха, и это верный признак того, что перед нами — украинская фамилия, причем с четкой региональной привязкой. Ее выдает характерный суффикс -юк, который в украинской ономастике выполняет ту же роль, что и русские -ов/-ев или -ин: он указывает на принадлежность, родство, буквально «маленький», «сын» или «потомок». Если разобрать фамилию на части, основа Грыц- — это фонетический вариант имени Григорий (в украинском произношении «Гриць», «Грицко»). Соответственно, Грыцаюк — это «потомок Грыця», то есть сын или внук человека по имени Григорий.

Украинские фамилии на -юк особенно характерны для западных и центральных областей Украины: Волыни, Подолья, Галиции. Встречается и написание через «и» — Грицюк, но форма Грыцаюк (с твердым «ы» и ударением на последний слог) выдает либо влияние польской орфографии, либо простонародную запись, где «ы» передает твердое произношение. В некоторых говорах могло быть и «Грицай» как прозвище, и тогда Грыцаюк — это уже «сын Грицая», а не Гриця. Обе версии ведут к одному корню — имени Григорий, что в переводе с греческого означает «бодрствующий».

Интересно, что в русском языке аналогом этой фамилии была бы Григорьев, но Грыцаюк сохранила более архаичную, патронимическую форму, не застывшую в притяжательном прилагательном. Носители этой фамилии — почти наверняка потомки крестьян или казаков из украинских губерний Российской империи, где фамилии на -юк массово закрепились в XVIII–XIX веках, когда крепостным и вольным хлеборобам давали прозвания по отцу. Сословного барьера у такой модели не было: ее носили и реестровые казаки, и мещане.

Поскольку фамилия редкая и не попала в общероссийские дворянские родословные книги, искать ее знаменитых носителей в истории затруднительно — это «народная» фамилия, и ее основная ценность именно в том, что она прямо говорит о своем корне: ваш предок был Грыцем, то есть Григорием, а через суффикс передал вам память о родстве без лишних слов.