Фамилия Гулинкин — редкий случай, когда суффикс сразу выдаёт модель образования, но корень оставляет простор для догадок. В основе лежит прозвище или неканоническое имя Гулинка. Уменьшительно-ласкательный суффикс -к- указывает на то, что так могли называть человека в быту, в кругу семьи или соседей. А вот от какого слова образовано само «Гулинка» — тут возможны варианты.

Самое прямое объяснение — от глагола «гулять». Гулинкой в северных и центральных говорах могли прозвать любителя погулять, праздного человека или, наоборот, того, кто часто бывал в отъезде, в гостях. В ономастике такая модель не редкость: фамилии Гуляев, Гуляйкин, Гулин построены по тому же принципу. Суффикс -ин в окончании фамилии — притяжательный, то есть «Гулинкин» буквально означает «сын Гулинки» или «из семьи Гулинкиных».

Вторая, менее очевидная версия, отсылает к диалектному слову «гуля» — так в некоторых регионах называли голубя. Тогда Гулинка — это ласковое прозвище человека с голубиной внешностью или повадками. Сравните с фамилией Гулин, которая тоже может восходить к «гуля» в значении «голубь». Однако для формы «Гулинкин» эта версия слабее: двойной уменьшительный суффикс (-к- + -ин) чаще прилагался к личному прозвищу, а не к зоониму.

Географически фамилия тяготеет к центральной России и Поволжью, где встречаются однокоренные Гулины и Гуляевы, но сама по себе Гулинкин — штучная, нечастотная. В дореволюционных метриках её носители, скорее всего, были крестьянами или мещанами: среди дворянских родов такая модель с двойным суффиксом не приживалась.

Что важно: фамилия не имеет отношения к слову «гулинка» в современном значении (например, как название напитка или блюда) — это народное прозвище, которое закрепилось в документах. Если ваш предок носил фамилию Гулинкин, он, вероятно, происходил из семьи, где кого-то в нескольких поколениях звали Гулинкой — за весёлый нрав или, наоборот, за привычку «гулять» по чужим дворам.