Фамилия Игешев — один из тех редких случаев, когда основа фамилии почти наверняка тюркская, а суффикс — русский, причём не самый частотный. Если бы фамилия оканчивалась на -ов или -ин, вопросов было бы меньше, но суффикс -ев (после шипящего) указывает, что в основе лежало слово, оканчивающееся на мягкий согласный или на -й. В данном случае это, скорее всего, прозвище или личное имя Игеш.

Само имя Игеш восходит к тюркскому корню «иг» (или «ик»), который в разных языках означает «веретено», «прялка» или «веретённый». В татарском, башкирском и других тюркских языках слово «игеш» или близкие к нему формы могли обозначать человека, который прядет, или мастера по изготовлению веретён. Однако есть и другая, более личная версия: в некоторых диалектах «игеш» — это форма имени, образованная от слова «иге» (хозяин, владелец) с уменьшительным аффиксом -ш. То есть Игеш могло быть ласкательным прозвищем вроде «хозяюшка» или «домовитого» человека.

Географически фамилия Игешев почти не встречается за пределами Поволжья и Урала. Наибольшая концентрация — в Башкортостане, Татарстане, а также в Оренбургской и Челябинской областях. Это типичная фамилия крещёных татар или башкир, которые в XVIII–XIX веках получали фамилии по имени отца или по прозвищу, причём русский суффикс -ев присоединялся к тюркской основе без изменений. В отличие от фамилий на -ин, где основа оканчивалась на -а/-я, здесь мы видим именно -ев, что подтверждает исходную форму на мягкий согласный.

С точки зрения социального статуса, Игешевы, скорее всего, были либо ремесленниками (прядильщиками, ткачами), либо просто крестьянами, получившими фамилию по личному имени. Дворянских родов с такой фамилией в исторических источниках не зафиксировано, что тоже характерно для поздних фамилий нерусского населения.

Любопытная деталь: в некоторых документах XIX века встречается вариант написания «Игишев» (через «и» после «г»), что может указывать на диалектное произношение — в тюркских языках гласные в первом слоге часто редуцируются. Однако современное правописание закрепилось как Игешев, и это единственная нормативная форма. Если вы встретите вариант с «ы» — «Игышев» — это, скорее всего, опечатка или результат местного говора.