Фамилия Имряков — редкий случай, когда основа не очевидна на слух, но при этом словообразовательная модель прозрачна. Суффикс -ов указывает на типичную русскую патронимическую модель: Имряков — потомок человека по имени или прозвищу Имряк. Вопрос в том, что скрывается за этим Имряком.

Самая вероятная версия ведет к тюркским корням. В башкирском, татарском и других тюркских языках существует слово «имря» (или близкое «имрек») со значением «ласковый», «нежный», «милый». В диалектах это слово могло трансформироваться в прозвище Имряк — «ласковый человек», «любимец». Такое прозвище могли дать ребенку в семье или взрослому за мягкий характер. Учитывая, что фамилия с суффиксом -ов чаще всего встречается в Поволжье и на Урале, где веками жили рядом русские и тюркские народы, эта этимология выглядит правдоподобной.

Менее убедительная, но возможная версия связывает Имряка с русским диалектным словом «имрять» — в некоторых говорах так называли ворчать, брюзжать. Тогда прозвище Имряк могло достаться человеку недовольному, постоянно выражающему неудовольствие. Однако тюркская версия поддерживается и тем, что в ономастических справочниках фамилия Имряков фиксируется именно в регионах с сильным тюркским влиянием, например в Оренбуржье и Башкортостане.

С точки зрения социального контекста, Имряковы, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано, а значит, предки носителя фамилии не принадлежали к привилегированным сословиям. Фамилия не получила широкого распространения, что делает её ценной для генеалогического поиска — круг однофамильцев узок, и восстановить родословную по ней проще, чем по распространённым фамилиям.

Таким образом, если вы Имряков, ваши предки, вероятнее всего, происходят из районов Поволжья или Приуралья, а их родовое прозвище восходит к тюркскому слову со значением «ласковый» или «милый».