Фамилия Кагирская — женская форма, а мужская, соответственно, Кагирский. Это типичная фамилия польско-украинского или белорусского происхождения, образованная по модели с суффиксом -ский/-цкий, который указывал на принадлежность к месту или роду. В отличие от простых русских фамилий на -ов/-ин, такие фамилии чаще всего получали дворяне, шляхта или люди, владевшие землей, но со временем они распространились и среди крестьянства через прозвища по местности.

Корень «Кагир-» вызывает вопросы. Самый вероятный вариант — топонимический. Фамилия могла возникнуть от названия населенного пункта вроде Кагир, Кагиры, Кагировка. Такие названия встречаются в западных регионах бывшей Речи Посполитой: например, есть село Кагирлык в Черкасской области Украины (хотя это тюркский топоним), или хутора с похожими корнями. В этом случае предок был либо помещиком, владевшим таким имением, либо выходцем оттуда — «Кагирский» значило «тот, кто из Кагир».

Вторая, более редкая версия — от прозвища. В некоторых говорах «кагыр» или «кагир» могло быть искажением слова «кагарь» (крик, шум) или относиться к диалектному глаголу «кагыркать» (кашлять, кряхтеть). Тогда прозвище Кагир дали человеку с хриплым голосом или ворчливому, а фамилия по отцу стала Кагирский.

Спорный момент — возможная связь с тюркским «кагыр» (скорбь, печаль) или «кагырмак» (жарить, поджаривать). Вряд ли фамилия возникла напрямую от этих корней у русских или украинцев, но если носители происходят из регионов активных тюркско-славянских контактов (например, южные степи или Кубань), такая основа могла перейти в прозвище через бытовое заимствование. Однако это менее правдоподобно, чем местное географическое название.

По сословной принадлежности: фамилии на -ский/-цкий в XVIII–XIX веках могли носить как обедневшие шляхтичи, так и крестьяне, получившие фамилию по деревне, где жили. Точных данных о конкретном роде Кагирских в открытых источниках мало — фамилия редкая, не вошла в массовые справочники. Если ваши предки носили её, стоит искать корни в архивных записях Волынской, Киевской или Подольской губерний, а также в списках польской шляхты.

Написание с мягким знаком (Кагирская, а не Кагирска) — современная русская орфографическая норма, в старых документах могло быть и «Кагирска» (польское -ska). Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Каги́рская.