Фамилия Какучая — редкая и необычная для русского уха. Ее происхождение почти наверняка связано с Кавказом, а точнее — с грузинской фамилией Какуча́дзе (ქაქუჩაძე). Если отбросить грузинский патронимический суффикс -дзе (указывающий на происхождение от отца), то остаётся основа Какуча. В русской среде, при переселении или записи фамилии в документы, окончание могли отсечь или переделать на привычное -ая, чтобы получилось прилагательное женского рода (по аналогии с фамилиями вроде Толстая или Кривая). Так Какучадзе могла превратиться в Какучую.

Основа фамилии — личное имя или прозвище Какуча. В грузинском языке слово «какуча» (ქაქუჩა) имеет несколько значений. Самое распространённое — «кукушка». Прозвище Кукушка могли дать человеку за голос, привычку или внешность. Однако есть и другая версия: в некоторых грузинских диалектах «какуча» означало «маленький, невысокий человек» или даже «мальчик». Третье, менее вероятное предположение — связь с именем Каха (сокращение от Кахабер), где суффикс -уча образует уменьшительно-ласкательную форму (как Миша — Мишута).

Таким образом, носители фамилии Какучая — это, скорее всего, потомки грузин (или народов, живших по соседству), которые в какой-то момент оказались в русскоязычной среде. Фамилия могла закрепиться в казачьих областях Кубани или Терека, где было много смешанных браков и переселенцев с Кавказа. Сословного барьера здесь не было: обладателем прозвища Кукушка мог быть и князь, и крестьянин.

Суффикс -ая в русском окончании не меняет смысла основы, но указывает на то, что фамилия была адаптирована по женскому типу склонения (как Дурново, но с другим окончанием). Встречаются также варианты Какучадзе, Какуча и Какуч. Если ваша фамилия именно Какучая, то с высокой вероятностью ваши предки происходят из Западной или Восточной Грузии, а сама фамилия — звуковой след того, как грузинское прозвище прижилось на русской почве.