Фамилия Каратаевских — одна из тех, что сразу выдают своё происхождение: она образована от географического названия. Её основа — топоним Каратаево. Таких сёл и деревень в России несколько, и все они, как правило, вели к фамилии, которую давали переселенцам или помещикам, владевшим этим имением. Фамилии на -ских (Каратаевский, Каратаевская) в старой России часто носили дворяне, получившие родовое имя по названию своего поместья, или же духовенство, которому семинарии давали «благозвучные» фамилии по названиям сёл. Однако форма Каратаевских — это родительный или предложный падеж во множественном числе. Такое окончание типично для фамилий, которые застыли в форме «чьих?» или «откуда?» (сравните: Черных, Долгих, Седых). Это указывает на то, что предок носителя фамилии был выходцем из семьи Каратаевских — то есть из рода, владевшего или жившего в Каратаеве.

Разберём корень Каратай. Это не просто случайное звучание. Скорее всего, в основе лежит тюркское слово «кара» — «чёрный» и «тай» — «жеребёнок». В тюркских языках «Каратай» — распространённое личное имя или прозвище, которое давали темноволосому или смуглому ребёнку. Такие имена были обычны в среде татар, башкир, казахов. Однако фамилия могла возникнуть и на русской почве: если в селе Каратаево жил человек по прозвищу Каратай (полученному за внешность или характер), то его дети становились Каратаевыми. А уже их потомки, получив дворянство или переехав, могли «удлинить» фамилию до Каратаевских — по модели, принятой для обозначения принадлежности к месту или роду.

Интересная деталь: географическая привязка. Одно из известных Каратаевых — село в нынешней Рязанской области, другое — в Татарстане. Если предки носителя фамилии были из рязанских мест, то велика вероятность, что они происходили из служилых людей или однодворцев. Если же из-под Казани — корни могли уходить в татарскую или мишарскую среду, где имя Каратай было обычным. Спор между этими версиями решается просто: фамилия Каратаевских в своей основе — топонимическая и дворянская по модели образования, а тюркское имя лишь легло в основу названия села.

Итог: фамилия Каратаевских говорит о том, что ваш предок был либо помещиком из села Каратаево, либо выходцем из семьи, владевшей этим селом. Окончание -ских в родительном падеже — редкая и старая форма, которая сохранила память о родовом гнезде.