Фамилия Каршкова — женская форма, а её мужской вариант — Каршков. В основе, скорее всего, лежит прозвище или мирское имя Карш (Карша). Разбирать фамилию стоит через суффиксальную модель: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?»), то есть Каршков — потомок или человек из рода Карша. В русской ономастике такие фамилии типичны для крестьянской и мещанской среды XVI–XVII веков.

Корень «карш» неоднозначен. Самая прямая версия — от диалектного слова «карша», которое в северных и сибирских говорах означало «коряга», «затонувшее дерево», «вывороченный с корнем пень». Прозвище Карша могли дать человеку коренастому, крепкому или, наоборот, угловатому и неуклюжему — по аналогии с корягой. Вторая версия — от тюркского «карш» (противоположный, встречный) или «карши» (напротив), что могло закрепиться за пришлым человеком или тем, кто жил на противоположной стороне села. Но для центральной России тюркская основа менее вероятна, чем славянская диалектная.

Встречается также вариант с ударением на второй слог — Каршко́ва, что меняет разбор. Если основа Каршко, то это уменьшительно-ласкательная форма от имени Карп (Карп → Карша → Каршко) или от редкого имени Карш (возможно, сокращение от Карл или Карп). Суффиксы -к(о) и -ш(а) типичны для украинской, белорусской и южнорусской антропонимии. Тогда фамилия не «мордовская» и не «татарская», а обычная восточнославянская, образованная от крестильного имени через народную форму.

Географически фамилия Каршков встречается в основном в Поволжье (Нижегородская, Самарская области) и на Урале. Это косвенно подтверждает диалектную версию: именно в этих регионах слово «карша» в значении «коряга» было в ходу. Встречаемость фамилии невысокая, что говорит о её локальном происхождении — от одного прозвища в конкретной местности. Сословная принадлежность предков, скорее всего, крестьянская или однодворческая, без связи с дворянством.

Если коротко: ваш предок по мужской линии получил прозвище Карша — либо за внешнее сходство с корягой, либо как ласковое производное от имени Карп. Фамилия типично крестьянская, русская, с корнями в северных диалектах.