Фамилия Касякин — редкий случай, когда на виду не корень, а суффикс. Она образована по модели «-як» → «-якин», то есть от прозвища или имени Касяк. Суффикс -як в русских фамилиях встречается нечасто и обычно указывает на признак: бородач — Бородякин, косой — Косякин. Соответственно, Касяк — это человек с какой-то характерной чертой, но с какой именно, вопрос.

Самая прямая версия: основа восходит к слову «касый» или «касатый» — в старых говорах так называли косого человека, с поворотом головы набок или с кривой осанкой. Тогда Касяк — то же, что и Косяк, но в ином диалектном произношении. Чередование о/а в корне здесь типично для северных и сибирских говоров, где «окали» по-своему: могли сказать «касой» вместо «косой». Фамилия Касякин могла закрепиться именно в такой фонетической форме, не перейдя в литературное «Косякин».

Есть и другая, менее вероятная версия — от имени Касьян через усечение. Касьян (латинское Cassianus) в народной речи часто звучал как Касян, а от него могли образовать прозвище Касяк и уже потом фамилию. Но обычно от Касьяна делали Касьянов или Касьяненко, а форма с суффиксом -як скорее указывает на прозвищный, а не крестильный корень.

Географически фамилия редкая и разбросана: встречается в Рязанской, Нижегородской областях и на Урале. В дореволюционных переписях Касякины — почти всегда крестьяне, изредка мещане. Дворянских родов с такой фамилией не обнаружено, что логично: прозвище по внешнему признаку редко становилось основой для привилегированной фамилии.

Коротко: предки носителя фамилии Касякин — скорее всего, человек по прозвищу Касяк, которого так назвали за косоглазие или кривую осанку. Фамилия сохранила живое диалектное произношение, не подогнанное под литературную норму.