Фамилия Кайгародова — женский вариант, а её мужская форма Кайгародов. Чтобы понять происхождение, нужно разобрать основу. Скорее всего, перед нами вариант фамилии Кайгородов, где «г» перешло в «г» (в русском языке такое чередование встречается в диалектах или при искажении записи). Корень «Кай-» здесь — не тюркский (как в слове «каймак»), а русский, диалектный. В архангельских и вятских говорах «кайга» или «кайгорода» означало «крикун», «горлопан», «беспокойный человек». Слово образовано от глагола «каять» (бранить, корить) и корня «-город-» (в значении «городить», то есть «говорить вздор» или «шуметь»). Получается, прозвище Кайгорода дали шумному, сварливому или суетливому человеку. Позже его дети стали Кайгородовыми, а в некоторых семьях буква «г» закрепилась в написании как Кайгародов.

Вторая, менее вероятная, но возможная версия — географическая. В Пермском крае и на Урале есть несколько топонимов с корнем «Кай» (например, река Кай). Если предок жил у такой реки или в местности, называемой «Кай-город» (то есть «город на реке Кай»), то фамилия могла образоваться от названия поселения. Но письменных подтверждений существования конкретного «Кайгородова» как села нет, поэтому прозвищная версия убедительнее.

Фамилия редкая. Встречается в основном на севере Европейской России и в Зауралье — в Вологодской, Кировской, Свердловской областях. Носителей, известных в истории, нет, что типично для фамилий, образованных от диалектных прозвищ: их не носили дворяне или купцы, а простые крестьяне и ремесленники. Суффикс «-ов» указывает на традиционную русскую модель «чей?» — сын Кайгорода. Фамилия не изменила форму при переходе в женский род: Кайгародова — это «жена или дочь Кайгародова».

Если вы встретили фамилию с двойным «г» (Кайггародова), это, скорее всего, ошибка переписчика или случайное удвоение. В диалектах произношение было твёрдым, без смягчения.