Фамилия Каюгин — редкий пример, где географический ключ даёт больше, чем привычный разбор суффикса и корня. На первый взгляд типичная модель на -ин: основа «Каюг» плюс притяжательный суффикс, указывающий на принадлежность к человеку по прозвищу или имени. Но если копнуть, самое интересное здесь — не окончание, а основа.

Самый вероятный источник — река Каюг. Это название носит река в Костромской области, левый приток Ветлуги. В таком случае фамилия Каюгин — топонимическая: предок получил прозвище Каюг по месту жительства, а его потомки записались как Каюгины. В пользу этой версии говорит и ареал: фамилия встречается прежде всего в Костромской и соседних областях, что типично для фамилий, образованных от местных гидронимов. Модель «река → прозвище → фамилия» — одна из древнейших в русской ономастике, и Каюгин вписывается в неё без натяжек.

Менее вероятно, но не исключено, что в основе лежит древнерусское некалендарное имя или прозвище Каюг. В северных говорах «каюг» могло означать нечто вроде «плакса» или «жалобщик» (от глагола «каять» — жалеть, упрекать, каяться). Такие прозвища по характеру давали охотно, но в письменных источниках XVI–XVII веков следов имени Каюг не сохранилось — в отличие от, скажем, Кай или Каян. Поэтому, хотя лингвистически связь с «каять» возможна, версия с рекой выглядит убедительнее.

Суффикс -ин не случаен. В русской фамильной модели -ин закреплялся за основами на -а, -я и твёрдые согласные. Каюг — мужское прозвище, оканчивающееся на «г», и форма Каюгин (а не Каюгов) говорит о том, что прозвище воспринималось как основа на мягкий согласный или что в говоре звучало «Каюга» (например, «сын Каюги»). В костромских говорах такое вполне возможно.

Социальная история фамилии типична для центральной России: Каюгины — скорее всего, крестьяне или однодворцы, получившие фамилию в XVIII–XIX веках при переписях. Дворянских родов с такой фамилией в родословных книгах нет, а значит, предки были людьми податных сословий. В метрических книгах Костромской губернии фамилия фиксируется с середины XIX века, что подтверждает позднее оформление.

Если вы ищете конкретные корни, стоит начать с Костромской области, особенно с бассейна Ветлуги. Река Каюг течёт через Шарьинский и Поназыревский районы — там фамилия встречается чаще всего. В других регионах Каюгины — это, скорее всего, переселенцы из тех мест.