Фамилия Хазагаев звучит необычно для русского уха, и это подсказка: её корни, скорее всего, не в славянской, а в тюркской или кавказской среде. Основа фамилии — «Хазаг» — может восходить к этнониму «хазар». Хазары — древний народ, создавший в раннем Средневековье могущественное государство в Прикаспии и Нижнем Поволжье. В таком случае прозвище «Хазаг» могли дать человеку, напоминавшему хазар внешностью, характером или имевшему с ними какую-то связь. Однако это лишь одна из версий.

Более вероятно, что фамилия имеет осетинское происхождение. В осетинском языке есть слово «хъазаг» (произносится близко к «хазаг»), которое означает «игра» или «пляска». Также существует осетинское мужское имя Хазаг, образованное от этого корня. Таким образом, Хазагаев — это типичная патронимическая фамилия, образованная по русской модели с суффиксом -ев (вариант -ов после мягких и шипящих основ). Она отвечает на вопрос «чей?» и означает «сын Хазага» или «потомок Хазага». Суффикс -ев указывает на то, что фамилия оформлялась уже в русской языковой среде, вероятно, при записи в официальные документы в XIX веке.

Фамилия Хазагаев распространена в первую очередь среди осетин, особенно в Северной Осетии. Встречается она и у других народов Кавказа, что объясняется культурными и языковыми контактами. Стоит отметить, что ударение в фамилии обычно падает на последний слог — Хазага́ев, что тоже характерно для осетинских фамилий, адаптированных русским языком. Если сравнивать с однокоренными, то можно вспомнить фамилию Хазагов — она образована от той же основы, но с другим суффиксом (-ов), что говорит о разных диалектных или канцелярских традициях оформления. Значение фамилии, таким образом, уводит нас не в далёкую историю хазар, а к конкретному человеку, которого предки назвали «игривым» или «плясуном» — Хазагом.