Фамилия Килинская — женская форма от Килинский, а та, в свою очередь, образована по популярной модели с суффиксом -ск-, который в русских фамилиях чаще всего указывает на географическое происхождение или принадлежность к местности. В отличие от патронимических фамилий на -ов/-ев или -ин, которые говорят об отце, фамилии на -ский обычно отвечают на вопрос «откуда родом?» или «чей по владению?».

Самая очевидная версия — связь с названием населённого пункта. В России и на Украине есть несколько сёл и деревень с корнем «Килин» или «Килино»: например, Килино в Пермском крае, Килинск в Иркутской области или хутор Килинский в Волгоградской области. Предок носителя фамилии мог быть выходцем из такого места, и ему дали прозвище «Килинский» — то есть «прибывший из Килина» или «владетель Килина». В XVIII–XIX веках такие фамилии часто получали священники и дворяне, но со временем они распространились и среди крестьян, особенно после отмены крепостного права, когда многим давали фамилии по названию деревни.

Менее распространённая, но возможная версия — происхождение от прозвища «Киля» или «Кила», которое в старину означало «гнойная шишка», «опухоль» (от слова «кила»). В народе так могли назвать человека с заметным физическим недостатком или, в переносном смысле, упрямого, «занозливого» человека. От прозвища через патроним «Килин» (чей сын?) и далее с добавлением -ский могли образовать и Килинского. Однако эта версия слабее топонимической: суффикс -ский редко присоединяли к прозвищам напрямую, обычно это делали для искусственных, «книжных» фамилий.

Интересная деталь: фамилия Килинская встречается в основном на западе России и в Беларуси, что характерно для фамилий с -ский, которые в тех краях были особенно популярны среди шляхты и духовенства. В польском языке существует фамилия Kiliński (например, известный польский генерал Ян Килинский), и русская Килинская может быть её русифицированным вариантом. Если ваши предки были из бывших польских земель, фамилия могла прийти оттуда и означать принадлежность к роду Килинских, владевших землёй с названием вроде Килин или Килины.

Точного единого корня нет, но если выбирать между версиями, географическая — самая надёжная: она объясняет и форму, и распространение фамилии. Прозвищная версия остаётся лишь гипотезой без серьёзной документальной поддержки.