Фамилия Кивалкина — женская форма фамилии Кивалкин, и её происхождение напрямую связано с прозвищем или именем предка. Разберём мужской вариант, от которого всё пошло.

Кивалкин — это отчество второго порядка, образованное от прозвища Кивалка. Модель типична для северных и центральных областей России: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?» — сын Кивалки). Сама основа «кивалк-» звучит необычно и сразу наводит на мысль о глаголе «кивать». В русских говорах «кивалкой» могли назвать человека, который часто кивает в разговоре — в знак согласия, приветствия или просто по привычке. Такие прозвища по характерному жесту или движению давали очень охотно: вспомните фамилии Моргалкин, Шмыгалкин, Чихачёв. Кивалка — тот, кто «кивает», то есть или услужливый, или нервный, или, наоборот, задумчивый и покачивающий головой.

Есть и вторая, более редкая версия. В рязанских и тамбовских говорах «кивалка» — это не человек, а предмет: так называли деревянный молоток, которым стучали по воротам или калитке, чтобы вызвать хозяина. В этом случае прозвище Кивалка мог получить либо сторож, либо плотник, делавший такие молотки, либо просто человек, который постоянно чем-то стучал. Версия с молотком менее распространена, но лингвистически обоснована: словообразовательная цепочка «кивать → кивалка (орудие)» работает так же, как «точить → точилка» или «вешать → вешалка».

С географией у фамилии всё определённо. Судя по современным данным, Кивалкины — типичная фамилия для Поволжья, особенно для Ульяновской и Самарской областей, а также для Чувашии. Это указывает на то, что прозвище возникло в среде крестьянства, возможно, в XVII–XVIII веках, когда закреплялись фамилии в сёлах. Сословно — почти наверняка крестьянский род: суффикс -ка в основе выдает просторечное, бытовое происхождение, нехарактерное для дворянских или духовных фамилий.

В написании фамилия устойчива, вариаций вроде «Кивалкова» или «Кивалкин» с другим суффиксом почти не встречается. Если сравнивать с однокоренными, то Кивалкин стоит в одном ряду с Кивачёвым, Киваевым и Кивановым — все они восходят к тому же «кивать», но каждый через свою модель: «кивач» (тот, кто кивает) или «киван» (уменьшительное от Кива). Кивалкин здесь — самая «инструментальная» фамилия, напрямую отсылающая к действию или предмету.