Фамилия Кивля звучит редко и неочевидно, но её происхождение укладывается в несколько типичных для русского ономастикона моделей. В основе, скорее всего, лежит прозвище или мирское имя, образованное от глагола «кивать» или существительного «кивок». Человек, которого в быту называли Кивля, мог обладать привычкой часто кивать в разговоре, иметь характерный наклон головы или даже быть сговорчивым, уступчивым — «кивающим» на любые предложения. Суффикс -ля в русских прозвищах нередко придаёт слову оттенок носителя признака: вертля, вялый, кивля — тот, кто кивает.

Менее вероятная, но возможная версия связывает фамилию с диалектным словом «кивлый» — так в некоторых говорах называли кривой, изогнутый предмет или человека с искривлением позвоночника. В этом случае Кивля — прозвище по внешней особенности, а фамилия закрепилась в форме, типичной для западнорусских и украинских земель, где суффикс -ля в фамилиях встречается чаще (сравните: Шуля, Гуля, Кривля).

Фамилия не относится к числу дворянских или старых боярских родов — в исторических документах XVI–XVII веков она не зафиксирована. По всей видимости, она возникла в крестьянской или мещанской среде не ранее XVIII века, когда фамилии массово закреплялись за податными сословиями. Географически следы фамилии ведут в основном в западные регионы России и восток Украины, реже — в Беларусь.

Обратите внимание, что фамилия склоняется как существительное мужского рода на -я: Кивля, Кивли, Кивле. В женском варианте не изменяется. Если ваши предки носили эту фамилию, вероятнее всего, они были крестьянами или ремесленниками из Черниговской, Смоленской или Могилёвской губерний, а прозвище родоначальника было связано либо с манерой поведения, либо с физической особенностью.