Фамилия Кивру — редкий случай, когда прозвище или имя не переделали под русские суффиксы, а оставили в почти исходном виде. Это не Кивров и не Киврин, а именно Кивру — окончание -у здесь не русский суффикс (как, например, в фамилиях на -их/-ых), а остаток финно-угорской или прибалтийско-финской основы. Такие фамилии характерны для Карелии, Ингерманландии (историческая область вокруг Петербурга), а также для территорий, где жили вепсы, ижора или финны-ингерманландцы.

Сам корень «Кивр-» скорее всего восходит к карельскому или финскому слову «kiv(i)» — камень. В диалектах возможна форма «kivi» с выпадением гласного или с редукцией: «kivru» как вариант прозвища «каменный», «крепкий как камень», либо от названия местности (например, скалистый участок). Вторая версия, менее вероятная, — связь с личным именем Кивро, которое могло быть уменьшительной формой от крестильного имени (например, Киприан в народной переработке). Но для финно-угорской среды типичнее прозвищная основа, привязанная к природному объекту.

Модель образования простая: основа (Кивр-) + окончание -у, которое в русском языке стало восприниматься как неизменяемое окончание фамилии. Такие фамилии не склоняются в мужском и женском варианте. В документах XIX — начала XX века подобные фамилии часто фиксировали у крестьян-карел, переселившихся в Тверскую или Новгородскую губернии, а также у финских и ижорских семей под Петербургом.

Никаких «известных носителей» в общероссийском масштабе у фамилии Кивру нет — это фамилия локальная, сконцентрированная в северо-западных регионах. Если ваши предки носили эту фамилию, они почти наверняка были из среды прибалтийско-финских народов, и прозвище могло дать либо каменистое место жительства, либо характер человека — упёртого, «каменного».