Фамилия Киврова — женская форма, а её мужской вариант — Кивров. Сразу бросается в глаза необычная основа: корень «кивр» в русском языке встречается редко, и это заставляет искать объяснение не в общеупотребительной лексике, а в диалектах или прозвищах.

Скорее всего, в основе лежит прозвище Кивёр или Кивра. В северных и сибирских говорах «киве́р» — это шапка, головной убор (слово пришло из тюркских языков, ср. «кивер» — военный головной убор). Прозвище могли дать человеку, который постоянно носил приметный головной убор, шил шапки или торговал ими. По другой версии, «киврой» в некоторых местах называли крикуна, горлопана — от глагола «кивать» в значении «кричать, шуметь» (такое значение зафиксировано в псковских говорах). Третья, менее вероятная гипотеза — связь с именем Киприан (в народной форме Кивриан), но тогда фамилия обычно звучала бы как Киврианов.

Суффикс -ов указывает на типичную русскую модель: так образовывали фамилии от прозвищ, оканчивающихся на твёрдый согласный. Кивров — потомок человека по прозвищу Кивёр. Женская форма Киврова закрепилась за счёт того, что в быту и документах чаще фиксировали «дочь» или «жену» Киврова, а мужская линия могла угаснуть.

Фамилия редкая, её географические корни, скорее всего, лежат на севере или северо-востоке европейской части России — там, где диалектное слово «кивер» было в ходу. Встречается она и в Поволжье, но единично. Известных исторических носителей с этой фамилией нет, что типично для прозвищных фамилий, возникших в крестьянской среде: их не записывали в родословные книги дворянства.