Фамилия Клешкова — женская форма фамилии Клешков, а та, в свою очередь, образована от прозвища или мирского имени Клешок. В основе лежит слово «клеш» или «клещ». Тут возможны два основных толкования, и оба уходят в быт и ремесла Древней Руси.

Самая прямая версия — профессиональная. Клешом или клещом в разных говорах называли кузнечный инструмент, клещи. Прозвище Клешок могли дать кузнецу, слесарю или любому мастеру, работавшему с металлом. Фамилии от названий инструментов — распространённое явление: Молотков, Ножовкин, Топоров. В этом ряду Клешков стоит прочно.

Вторая версия — от насекомого клеща. Прозвище Клещ на Руси давали человеку назойливому, приставучему, либо тому, кто «впивался» в дело и не отступал. В словаре древнерусских прозвищ такие случаи зафиксированы. Суффикс -ок в форме Клешок (с чередованием щ/ч) мог придавать уменьшительный или пренебрежительный оттенок — «маленький клещ», но в фамилиях он часто терял это значение и просто указывал на конкретного человека.

Суффикс -ов в окончании фамилии (Клешков) — стандартный патронимический, указывает на принадлежность: «чей?» — «Клешков», то есть сын или потомок Клешка. Такая модель была основной для крестьян и мещан центральной России в XVII–XIX веках. Географически фамилия встречается в основном в северных и центральных областях — в Вологодской, Архангельской, Костромской губерниях, где кузнечное дело и лесные промыслы были особенно развиты.

Интересная деталь: в некоторых говорах «клеш» означал ещё и часть рыболовной снасти (крючок с бородкой), что добавляет возможную связь с рыбаками. Но эта версия менее распространена в источниках. В любом случае, предки современных Клешковых были людьми, которых окружающие узнавали по делу или характеру, и это закрепилось в фамилии.