Фамилия Клевцовский образована по модели, характерной для польской и западнорусской шляхты: суффикс -ский указывал на принадлежность к месту или роду. В основе лежит топоним — название населённого пункта вроде Клевцово, Клевцы или Клевск. Такие названия, в свою очередь, восходят к прозвищу или нецерковному имени Клевец. В древнерусском языке «клевец» — это молоток, кирка или чекан, то есть инструмент для дробления твёрдого материала. Прозвище Клевец могли дать кузнецу, камнетёсу или воину, вооружённому чеканом — боевым молотком.

Менее вероятная, но возможная версия связывает корень с глаголом «клевать»: прозвище Клевец мог получить человек с характерными движениями головы или навязчивый, «долбящий» собеседника. Однако в контексте фамилий на -ский, которые часто фиксировали именно родовое гнездо, топонимическое объяснение выглядит убедительнее.

Встречаемость фамилии — редкая, с явной привязкой к западным регионам бывшей Речи Посполитой: современная Беларусь, западные области Украины, а также Польша. В России Клевцовские — скорее всего, потомки переселенцев конца XIX — начала XX века, когда шляхта из западных губерний перебиралась в центральные и восточные районы. В архивных записях фамилия могла колебаться в написании: Клевцовский и Клевецкий — варианты, образованные от одного корня, но с разными суффиксами.

Что касается сословной принадлежности: носители фамилий на -ский в этом регионе в основном принадлежали к мелкой шляхте, небогатым землевладельцам или служилым людям. Крестьянам такие фамилии присваивали реже, обычно при переходе в свободное состояние после отмены крепостного права. Поэтому предки Клевцовских, вероятно, владели землёй в окрестностях деревни Клевцы или служили в пограничных гарнизонах.