Фамилия Клевцов образована от прозвища Клевец. Клевцом называется разновидность тяжёлого боевого топора с хорошей пробивной силой. Клевец был оружием преимущественно конных воинов. Особую популярность он приобрел в Европе в XV-XVII веках, когда доспехи усовершенствовались настолько, что пробивная способность мечей стала недостаточной. Скорее всего, прозвище Клевец получил оружейник или конный боец. Из однофамильцев знаменит танцовщик Большого театра, Заслуженный артист России Юрий Клевцов. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Клевец, со временем получил фамилию Клевцов.