Фамилия Клевцов образована от прозвища Клевец. Так называли разновидность тяжёлого боевого топора с клювовидным лезвием — оружие с хорошей пробивной силой, популярное в Европе в XV–XVII веках. Клевец был особенно удобен для конных воинов: когда доспехи стали настолько прочными, что мечи перестали их пробивать, именно удар клевцом решал исход схватки. Вероятно, прозвище Клевец закрепилось либо за оружейником, который ковал такое оружие, либо за самим бойцом, искусно им владевшим.

Модель образования фамилии проста: к основе Клевец добавили типичный русский патронимический суффикс -ов, означающий «сын» или «потомок». То есть Клевцовы — это буквально «дети Клевца». Такая схема характерна для большинства русских фамилий, возникших из прозвищ, и указывает на то, что фамилия закрепилась в простонародной среде, скорее всего, среди служилых людей или ремесленников.

Среди известных носителей фамилии — танцовщик Большого театра, Заслуженный артист России Юрий Клевцов. В остальном фамилия не слишком распространена и не имеет широко задокументированной дворянской родословной, что подтверждает её «ремесленное» или «военное» происхождение.