Фамилия Клейшин образована по типичной для русских фамилий модели: основа плюс суффикс притяжательного прилагательного -ин. Суффикс -ин, а не -ов, указывает на то, что в основе лежит слово, оканчивающееся на -а или -я. В случае с Клейшин — это, скорее всего, прозвище или нецерковное имя Клейша.

Само слово «клейша» в русских говорах имело два основных значения. Первое, более распространенное, — это рыбацкая снасть, разновидность сети или мережи. Второе, диалектное, — так могли называть неуклюжего, неповоротливого человека (от глагола «клясть» или «клеить» в переносном смысле). Таким образом, самый прямой путь происхождения фамилии: предок носил прозвище Клейша, возможно, за то, что занимался рыболовством и славился своим мастерством в плетении или установке сетей. Либо, что менее вероятно, за медлительность или вязкость характера.

Менее очевидная, но возможная версия: фамилия могла возникнуть от уменьшительной формы крестильного имени. В русской традиции имена вроде Клементий (Клим) или Николай иногда давали просторечные формы с суффиксом -ша: Клейша могло быть вариантом имени Клим (через «Клиша» → «Клейша» под влиянием аканья или просто в результате языковой игры). Однако эта гипотеза слабее: она не находит прямых параллелей в документальных источниках, тогда как прозвище от снасти — прозрачнее и логичнее.

Географически фамилия Клейшин не привязана к какой-то одной узкой области, но чаще встречается в центральных регионах России и Поволжье. Это говорит о том, что она возникла не в среде высшего дворянства, а среди крестьян или посадских людей, где прозвища были особенно живучи. Сословного барьера у фамилии нет: Клейшины могли быть и государственными крестьянами, и мещанами, и даже купцами — всё зависело от конкретной семьи.

В написании фамилия устойчива: вариант через «ы» (Клейшин) — единственно верный для русского языка. Встречающееся изредка написание «Клейшын» — результат местного произношения или ошибки в документах, но не самостоятельная ветвь.