Фамилия Клячкова — женская форма, мужской вариант — Клячков. В её основе лежит прозвище или мирское имя Клячок, а то, как именно оно возникло, даёт сразу несколько версий, и разобраться в них интереснее, чем выбрать одну.

Самая прямая версия — от слова «кляча». В старых говорах клячей называли не только плохую, измученную лошадь, но и вообще любую лошадёнку, рабочую лошадку без оттенка презрения. Прозвище Кляча или Клячок мог получить человек, имевший дело с лошадьми: конюх, извозчик, крестьянин, который держал единственную лошадь. Но не стоит торопиться с выводом, что предок был бедняком — в русских фамилиях прозвища по рабочим животным давали без уничижительного смысла, по характерному занятию.

Вторая версия сложнее и ведёт к корню «кляк-» или «кляч-» со значением «гнуть, клонить, давить». В диалектах встречается глагол «клячить» — гнуть, сгибать, корёжить, а также «кляч» — крюк, багор, что-то скрюченное. Тогда Клячок — прозвище сгорбленного, сутулого человека или того, кто работал с крючьями, например, бурлака или рыбака. Есть и слово «кляч» в значении «клюка, костыль» — так могли назвать хромого или пожилого человека, опиравшегося на палку.

Третья, менее вероятная, но возможная версия — от тюркского имени или прозвища Кляч (Келяч, Коляч) с неясным значением, но для фамилии Клячков это скорее исключение, чем правило, так как суффикс -ов/-ев указывает на славянскую модель образования от прозвища, а не на прямое заимствование.

Фамилия Клячков встречается не повсеместно, а с заметной концентрацией в центральных и южных регионах России: в Воронежской, Тамбовской, Рязанской областях, а также на Дону. Это указывает на то, что прозвище Клячок было в ходу именно в чернозёмной полосе, где лошадь — основа крестьянского хозяйства.

Однокоренные фамилии — Клячин, Клячевский — образованы от того же корня, но с разными суффиксами. Клячков стоит в ряду «патронимических» фамилий на -ов, то есть буквально означает «сын Клячка». Таким образом, предок носительницы этой фамилии почти наверняка был крестьянином или ремесленником, а его прозвище либо указывало на работу с лошадьми, либо на внешность — сгорбленную или хромую фигуру.