Фамилия Клячко — пример того, как прозвище, данное по внешнему виду или хозяйственной детали, закрепилось в качестве родового имени. В её основе лежит слово «кляча» — плохая, изнуренная лошадь. Прозвище Кляча могли дать либо худому, изможденному болезнью человеку, либо тому, у кого в хозяйстве была именно такая лошадь. В народе о клячах сложено немало поговорок: «Худая кляча зря куда скачет», «На своей кляче, куда хочу, туда и пячу (скачу)», «Из кобыл да в клячи», «Удача — кляча: садись, да скачи (скачи, да кричи)».

Исторические документы подтверждают бытование этого прозвища: в 1585 году во Пскове упоминается Кляч Иван, рыболов; в 1541 году — Кляча Григорий Яковлевич Морозов; в 1585 году в Арзамасе — Клячин Семен, помещик. Со временем прозвище Кляча полностью заменило наследственное имя и в повседневной жизни, и в официальных документах.

Фамилия образована по распространенной восточнославянской модели с суффиксом -ко, который характерен для украинских и белорусских фамилий. Суффикс -ко часто придавал прозвищу оттенок принадлежности или ласкательности, а в данном случае мог означать «сын Клячи» или просто «тот, кто связан с Клячей». Такая модель встречается у фамилий типа Шевченко, Коваленко, где -ко указывает на потомка. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев (Клячев) или -ин (Клячин), форма Клячко прямо указывает на западнорусское или малороссийское происхождение рода.

Таким образом, фамилия Клячко несет информацию не только о возможной внешности или хозяйстве предка, но и о его географическом происхождении — скорее всего, с территории современной Украины или Беларуси, где суффикс -ко был особенно распространен.