Фамилия Клящицкая — редкий случай, когда географический корень почти наверняка перевешивает прозвищный. Основа здесь — топоним, а суффикс -ск- указывает на происхождение от названия места. Скорее всего, перед нами вариант фамилии Клящицкий в женском роде (жена или дочь Клящицкого), но в современном употреблении форма на -ая закрепилась как самостоятельная.

Разбираем корень: «Клящ-» или «Клящиц-». Самое прямое объяснение — название населённого пункта. В Польше и на западе Беларуси есть несколько мест с корнем «Kleszcz» или «Kleszcze» (клещ). По-польски «kleszcz» — это именно кровососущее насекомое. Отсюда могли образоваться названия вроде Клеще, Клещи, а их русская или белорусская передача через «я» (Клящи) — явление нередкое для говоров, где «е» переходит в «а» после мягких согласных. Фамилия могла возникнуть у выходца из деревни Клящицы или Клящево.

Менее вероятная, но допустимая версия — прозвище Кляща. В некоторых русских диалектах «кляща» или «клящий» означало нечто гнущееся, скрюченное, либо человека придирчивого, «кляузного». Однако суффикс -ицк- в топонимических фамилиях (как Смолицкий, Городицкий) встречается намного чаще, чем в прозвищных. Поэтому версия с названием села выглядит убедительнее.

Ударение в фамилии плавающее: в польском варианте оно падало бы на предпоследний слог (Клящи́цкая), в русском бытовом произношении часто смещается на первый (Кля́щицкая). Встречается написание через «е» — Клещицкая, что подтверждает связь с «клещом».

О сословной принадлежности судить сложно. Фамилии на -ский в XVIII–XIX веках часто носили польская шляхта и духовенство, но также их давали крестьянам по названию деревни при переписях. Если предок был из мелкой шляхты — фамилия могла писаться как Клящицкий с гербовой приставкой. Если из крестьян — форма Клящицкая закрепилась как «уличная» фамилия целой семьи.

Коротко: Клящицкая — скорее всего, «та, что из Клящиц», а Клящицы — место, где водились клещи или где жили люди с прозвищем Клещ.