Фамилия Клыева — женская форма фамилии Клыев, и её разбор стоит начать с мужского варианта. Клыев — это отчество второго порядка, образованное от личного имени или прозвища Клый. Суффикс -ев указывает на принадлежность: «сын Клыя» или «из рода Клыя». Само имя Клый — редкое, но не единичное в русской ономастике.

Здесь возможны две основные версии происхождения основы. Первая: Клый — это вариант имени Клим (Климентий), где произошло стяжение и утрата конечного согласного, как в народных формах Клим → Клык → Клый. Вторая, более правдоподобная для прозвища: Клый может быть связан с древнерусским словом «клый» — «клык, бивень, острый зуб». Прозвище Клый давали либо человеку с заметными зубами, либо с острым, «кусачим» характером. В пользу этого говорит и параллельная фамилия Клыков, где корень тот же, но с другим суффиксом.

Географически фамилия Клыев (и Клыева) встречается в основном на юге России и в восточных областях Украины, что характерно для фамилий с такой моделью образования. В старых писцовых книгах и ревизских сказках XVII–XVIII веков фамилия не частая, но фиксируется в однодворческой среде — потомках служилых людей, охранявших южные рубежи. Это значит, что предок Клыев был не крепостным, а свободным человеком на государевой службе.

В словаре Веселовского «Ономастикон» есть упоминание прозвища Клый, но не в качестве фамилии, а как личного имени. Унбегаун в «Русских фамилиях» относит такие формы к разряду «прозвищных», образованных от названий частей тела или черт внешности. Таким образом, Клыева — фамилия, в основе которой лежит меткое бытовое прозвище, и носила её в основном южнорусская служилая или крестьянская семья.