Фамилия Клыев редкая, и её происхождение неочевидно. Если отбросить случайные искажения при записи, то наиболее вероятная основа — прозвище или мирское имя Клый. В русских говорах слово «клый» имело несколько значений, и все они могли стать источником фамилии. В одних диалектах «клый» — это «клык», то есть крупный зуб, и такое прозвище давали человеку с заметными зубами или, в переносном смысле, драчливому, «зубастому» человеку. В других областях «клый» означало «кляп, затычка», и тогда прозвище могло относиться к молчуну или, наоборот, к тому, кто работает с затычками (бондарь). Наконец, в южнорусских говорах «клый» — это «клин» (кусок ткани, вставка), и Клыем могли назвать портного.

Модель образования проста: суффикс -ев указывает на принадлежность («чей?» — Клыев). Так фамилии складывались в XV–XVII веках в среде крестьян и посадских людей на территории Северо-Восточной Руси. Суффикс -ев, а не -ов, стоит потому, что основа оканчивается на мягкий согласный (й).

Интересная деталь: в старых документах эта фамилия могла писаться двояко — Клыев и Клыёв (с ударением на последний слог). Второй вариант ближе к исходному произношению прозвища Клый. Со временем написание закрепилось через «ие» под влиянием книжной традиции, хотя в бытовой речи ударение могло оставаться на «ы». Встречается фамилия спорадически, без чёткой географической привязки, что говорит о её локальном, а не массовом происхождении.

Аналогов этой фамилии немного. Родственные по корню — Клыков, Клычков, Клышников — все они отталкиваются от того же диалектного «клык» или «клый», но с разными суффиксами. Клыев стоит особняком из-за редкого окончания на -ев при мягкой основе.