Фамилия Клышев образована от прозвища Клыш. В основе этого прозвища лежит слово «клыш» — так в некоторых южнорусских и украинских говорах называли клык, большой зуб. Прозвище Клыш могли дать человеку с заметным, выступающим зубом. В переносном смысле — упрямому, «зубастому» в споре человеку. Модель образования типична для русских фамилий: прозвище + суффикс принадлежности -ев, который добавляется к основам на мягкий согласный или шипящий (Клыш → Клышев, буквально «сын или потомок Клыша»).

Стоит отметить, что фамилия Клышев относительно редкая и имеет чёткую региональную привязку. По данным исторических документов и современных списков, она наиболее характерна для юга России и востока Украины, особенно для Ростовской области и бывшей Области Войска Донского. Это неслучайно: в донских говорах слово «клыш» употреблялось чаще, чем в северных. Встречается также вариант Клышов, но он менее распространён и связан с иной орфографической традицией (ударное окончание под влиянием украинского языка).

Словарь Б. Унбегауна «Русские фамилии» относит такие прозвищные фамилии к числу древних, возникших ещё в допетровскую эпоху. Однако в дворянских родословных книгах Клышевы не значатся — это фамилия крестьянская и казачья. Предки современных Клышевых, скорее всего, были вольными казаками или государственными крестьянами южных губерний. Прозвище Клыш могло закрепиться как нецерковное имя, а затем перейти в фамилию без каких-либо изменений — по той же модели, что и фамилии Зубов, Клыков или Щербаков.

Интересно, что однокоренная фамилия Клышко (с уменьшительным суффиксом -к-) бытует в Белоруссии и на западе Украины, что указывает на более широкий ареал исходного прозвища. Но Клышев — форма именно русская, с патронимическим суффиксом. Если вы носите эту фамилию, ваши предки с высокой вероятностью жили в казачьих станицах или сёлах на юге, а само прозвище могло быть не обидным, а скорее указательным — по внешней или поведенческой особенности.