Фамилия Клышинская — женская форма от Клышинский, и её разумнее всего рассматривать как производную от географического названия. Модель на -ский/-цкий в русских фамилиях почти всегда указывает на связь с местностью: селом, городом или урочищем. Основа «Клыш-» могла лечь в основу названия деревни Клышино или Клыши — такие пункты встречаются в разных регионах, особенно на западе и северо-западе России. Человек, получивший фамилию Клышинский, скорее всего, был помещиком, владевшим этим селом, или выходцем оттуда, которого записали по месту прежнего жительства.

Сам корень «Клыш-» — тёмный и допускает несколько объяснений. Самое прямое: это вариант прозвища Клыш, которое в русских говорах могли дать человеку с выступающими передними зубами (клыками). Подобные прозвища по внешним приметам были распространены, и от них образовывали фамилии с суффиксом -ин: Клышин. Однако форма Клышинский — уже патронимическая или топонимическая, то есть либо «сын Клыши», либо «из Клышина». Второй вариант: в основе лежит диалектное слово «клыш» — кривой, косой, или даже «клыша» — неуклюжий человек. В любом случае, прозвищное происхождение не исключено, хотя географическая версия для фамилий на -ский выглядит убедительнее.

Обратите внимание на суффикс -инск-, который в этой фамилии нередок, но чуть менее стандартен, чем просто -ск-. Он указывает на принадлежность к владельческому селу: Клышино → Клышинский. Такие фамилии чаще встречались у польской и западнорусской шляхты, а затем перешли в русское дворянство и духовенство. Если ваши предки носили Клышинскую, стоит поискать в метрических книгах или ревизских сказках упоминания села Клышино в бывших губерниях: Смоленской, Витебской, Могилёвской — там эта фамилия могла закрепиться.

Спорных версий немного, и они слабы. Например, связь с глаголом «клышить» — кричать, шуметь — маловероятна, так как этот глагол редок и локально ограничен. В целом фамилия Клышинская — типичный пример того, как внешняя примета или название крохотной деревни превратились в родовое имя, которое сегодня можно встретить в основном на северо-западе России и среди потомков переселенцев.