Вот переработанное описание фамилии «Кооль», соответствующее вашей инструкции.

Фамилия Кооль — хороший пример того, как прозвище, данное по профессии, закрепилось в роду и пережило века. Её основа — эстонское слово «kool», то есть «школа». В эстонской традиции, где круг личных имён был невелик, дополнительные прозвища давали почти каждому, и они часто указывали на занятие человека. Поэтому логично предположить, что предок носителя фамилии Кооль был учителем или иным грамотным человеком, связанным со школой, — в крестьянской среде это выделяло его особенно ярко.

Интересно, что фамилия не получила типичного русского суффикса (-ов, -ин, -ский), который часто добавляли к иноязычным основам при адаптации. Она сохранила чисто эстонское звучание и форму, что для фамилий на территории бывшей Российской империи встречается реже, чем можно подумать. Обычно такие «голые» основы без суффикса указывают на позднее оформление фамилии или на то, что её носители долго жили в среде, где русская модель именования не была обязательной.

С точки зрения словообразования, фамилия Кооль — это субстантивированное прозвище. Человека называли не «школьный», а просто «Школа», имея в виду его работу. Со временем это прозвище перешло в разряд наследственных фамилий, закрепив за потомками память о профессии предка. Других версий происхождения, например от личного имени или географического названия, у этой фамилии нет, и притягивать их искусственно не стоит — эстонское «kool» даёт ясную и самую правдоподобную картину.

Фамилия Кооль — не просто бытовое прозвище, а своего рода памятник эстонской культуре и социальной истории. Она напоминает о том, что образование ценилось и в тех слоях общества, которые не оставили после себя письменных хроник, но зато оставили такие фамилии.