Фамилия Кощуг — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Она явно не входит в число массовых русских фамилий на -ов, -ев или -ин, что сразу наводит на мысль о нестандартной основе. Самая вероятная версия — связь с древнерусским словом «кощуна» (или «кощюна»). Так называли святотатство, богохульство, а также насмешку или неприличную шутку. В «Слове о полку Игореве» есть знаменитое выражение «вещий Боян, если кому хотел песнь творить, то растекался мыслию по древу, серым волком по земли, сизым орлом под облаками» — и далее упоминаются «кощуны» в значении языческих преданий или поношений. Кощугом могли прозвать человека дерзкого на язык, скомороха или того, кто не боялся высмеивать церковные порядки.

Вторая версия, менее популярная, но имеющая право на существование, — от диалектного глагола «кощугать», который в некоторых говорах означал «бить, хлестать» или «гнать». В этом случае прозвище Кощуг могло закрепиться за драчуном, буйным человеком или, наоборот, за тем, кто работал с кнутом, например погонщиком скота. Третья гипотеза — искажённая форма от карельского или вепсского слова «koššu» (корзина, кузов), но она зыбкая, так как фамилия не привязана к северо-западным регионам в документах.

Суффикс -уг в русских фамилиях встречается редко, но не уникален. По той же модели образованы, например, фамилии Коряг, Болтуг, Шуруг. Этот суффикс часто придаёт слову оттенок грубоватости или предметности — то есть прозвище звучало не ласкательно, а скорее хлёстко и метко. Социальный статус первых носителей, скорее всего, был невысоким: крестьяне или посадские люди, которым прозвище дали за характер или занятие. Дворянских родов с фамилией Кощуг не зафиксировано, что подтверждает её «низовое» происхождение.

Географически фамилия встречается точечно — в основном на севере и северо-востоке европейской части России, в Вологодской и Архангельской областях, а также в Сибири, куда переселенцы могли уйти в XVII–XVIII веках. В современных справочниках носителей мало, и это не фамилия-бренд, а скорее семейное прозвище, сохранившееся в нескольких родах. Если ваши предки — Кощуги, то с большой долей вероятности они происходят из среды свободных крестьян-северян, а сама фамилия закрепилась не по отцу, а по прозвищу, которое дали ещё в допетровские времена.