Фамилия Костромской (а в старом написании — Костромский) — это типичная фамилия-топоним, то есть образованная от географического названия. Её основа — Кострома, и носитель такой фамилии, скорее всего, был выходцем из этого города или его окрестностей. Суффикс -ск- в русских фамилиях классический для указания на принадлежность к местности: так же появились Тверской, Рязанский, Муромский. В отличие от фамилий на -ов/-ин, которые часто закреплялись за крестьянами, модель на -ский была распространена у дворянства, духовенства и мещан, но со временем стала массовой.

Интересно, что фамилия могла закрепиться не только за человеком, переехавшим из Костромы. В XVI–XVII веках на Руси активно раздавались поместья, и землевладельцам присваивали фамилию по названию вотчины или села. Поэтому предок Костромских мог быть помещиком, которому выделили землю в Костромском уезде. Вторая, более редкая версия: в некоторых говорах «костромой» называли скупого или ворчливого человека, но для фамилии с суффиксом -ский это маловероятно — топонимическое происхождение здесь однозначно главное.

Фамилия не слишком распространена, её концентрация выше в центральной России и, конечно, в самой Костромской области. В дореволюционных документах можно встретить двойное написание — Костромской и Костромский; первая форма чаще встречалась у крестьян и мещан, вторая — в дворянских родословных, хотя жёсткого правила не было. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были либо коренными жителями костромских земель, либо получили её по месту службы или владения.