Фамилия Коцага — редкая и, скорее всего, прозвищная. Её основа — слово «коц», которое в южнорусских и украинских говорах означало грубое шерстяное покрывало с начёсом, род одеяла или попоны. Прозвище Коцага могли дать человеку, который такие покрывала изготавливал, торговал ими или, возможно, сам постоянно в них кутался. Модель образования простая: основа «коц» и суффикс -аг(а), который в восточнославянских фамилиях встречается нечасто, но придаёт прозвищу экспрессивный, разговорный оттенок (сравните с фамилиями на -аг(а) от других корней).

Интересная деталь — эта фамилия не теряет связи с исходным диалектным словом. У неё есть вариант Коцаго, который зафиксирован в Книге памяти Республики Татарстан: там записан молдаванин Коцаго Мирон Иванович, 1910 года рождения, уроженец деревни Восилково Сорокского района Молдавии. Эта запись — не просто архивная строчка, она сразу указывает на географию: фамилия бытовала в бессарабском регионе, на стыке молдавской и украинской языковых сред. Там слово «коц» и его производные как раз были в ходу.

Фамилия Коцага не дворянская и не книжная — она вышла из простонародной, ремесленной среды. Её носители, скорее всего, были крестьянами или мелкими торговцами, связанными с домашним ткачеством и валянием шерсти. Встретить её за пределами юго-запада бывшей Российской империи можно редко, и каждый случай — вероятно, след переселения семьи из тех же молдавских или подольских мест.