Фамилия Ковернинский — один из тех случаев, когда географическое имя перешло в родовое прозвище, а затем закрепилось за потомками. Её основа — топоним Ковернино. Это название нескольких населённых пунктов, самый известный из которых — рабочий посёлок Ковернино в Нижегородской области. Скорее всего, именно оттуда родом основатель фамилии, либо он владел там землёй или крестьянами.

Суффикс -ск- в этой фамилии — типичная модель для образования дворянских или шляхетских фамилий в XVII–XIX веках. Но не спешите записывать всех Ковернинских в аристократию. В России фамилии на -ский давали и выходцам из духовенства (по названию села или прихода), и просто крестьянам, переселившимся в другие места. В документах XVIII века встречаются крестьяне и мещане, писавшиеся как Ковернинские — по месту прежнего жительства. Так что сословное происхождение здесь неоднозначное.

Что касается названия Ковернино, его корень спорен. Вероятнее всего, это отчество от прозвища Коверня. В русских говорах «коверня» — неуклюжий, косолапый человек, тот, кто «коверкает» дело. Менее убедительная версия — связь с ковром (мастером по коврам), но тогда форма была бы Ковров или Коверников, а не Ковернинский. Суффикс -ин- в основе указывает на принадлежность: «Коверня» → «Ковернин» (сын Коверни) → «Ковернинский» (из рода Коверниных). Так что прозвищное происхождение выглядит правдоподобнее, чем ремесленное.

Фамилия редкая. Её концентрация заметна в Нижегородской области и соседних регионах — Костромской, Ивановской. Если ваши предки Ковернинские, стоит поискать их в метрических книгах Ковернинского уезда (существовал до 1920-х годов) или соседних волостей. Встречается также вариант написания Коверненский — это описка или диалектное произношение, не отдельная фамилия.