Фамилия Козячая — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. На первый взгляд она похожа на притяжательное прилагательное (вопрос «чья?»), но суффикс -яч- в русских фамилиях встречается нечасто. Чаще всего такие формы образовывались от прозвищ или названий животных с помощью суффикса -яч/-ач, указывающего на характерный признак: например, Козлячий (от «козёл») или Свинячий. Однако здесь основа не «козёл», а «козяк» или «козяка» — слово, которое в южнорусских и украинских говорах означало козла, а в некоторых диалектах — упрямого или бодливого человека. То есть Козячая — это вариант фамилии Козячий в женской форме (жена или дочь Козячего), закрепившийся как неизменяемая фамилия.

Вторая версия, менее распространённая, связывает фамилию с диалектным словом «козява» — так в псковских и тверских говорах называли мелкую мошкару или гнус. Прозвище Козява могли дать человеку маленького роста, суетливому или надоедливому. От него образовалась бы фамилия Козявин, но форма Козячая скорее указывает на исходное «козячий» — принадлежащий козе или козлу.

Географически фамилия тяготеет к югу России и к западу: её фиксировали в Курской, Воронежской областях, а также среди казачества. В ревизских сказках XIX века встречаются единичные случаи написания «Казячая» — это могла быть описка или отражение акающего произношения. По социальному составу носители чаще были крестьянами или однодворцами, но точных данных о сословной принадлежности по этой фамилии мало.

С точки зрения словообразования интересен суффикс -яч-, который обычно встречается в прилагательных со значением «свойственный тому, что названо основой» (телячий, рыбий, девичий). В фамилиях он редок, потому что такие формы плохо склонялись и редко становились наследственными. Козячая — исключение, сохранившее архаичную грамматическую конструкцию. Однокоренных фамилий мало: Козявкин, Козяков, Козеев — и все они образованы от разных основ. Если ваши предки — Козячие, то, скорее всего, родоначальник носил прозвище Козячий (козий, козлиный) за упрямство, бороду или род занятий, связанный с козами.