Фамилия Круковскай — это не опечатка и не вариант фамилии Круковский, а самостоятельная форма, образованная по иной модели. Если фамилии на -ский в массе своей принадлежали польской и западнорусской шляхте, то Круковскай — это пример восточнославянской, в первую очередь белорусской, адаптации. В белорусском языке фамилии на -ский нередко переходили в разряд прилагательных с усечённым окончанием: вместо -ский писали и произносили -скай. То есть Круковскай — это та же фамилия, что и Круковский, но записанная в народной, «опрощенной» форме, характерной для крестьян и мещан XIX века при массовом закреплении фамилий.

Основа фамилии — топоним Круково или Круковка. Таких названий несколько в Беларуси и на западе России (например, деревня Круково в Витебской области). В основе лежит прозвище или имя Крук — по-белорусски и по-украински «ворон». Это не просто птица: в славянской традиции ворон — символ мудрости, долголетия, но и мрачного предзнаменования. Прозвище Крук могли дать черноволосому человеку, молчаливому или, наоборот, обладателю зычного голоса. От этого прозвища и пошло название деревни, а от деревни — фамилия её первых владельцев или жителей: «кто из Крукова» — Круковский, а в просторечии — Круковскай.

Суффикс -ск- в этой фамилии указывает на территориальную, а не патронимическую связь: предок не был сыном Крука, а был человеком, связанным с местностью Круково. Это типичная модель для фамилий знати и духовенства, но в форме Круковскай она спустилась в низшие сословия. В документах Российской империи такую фамилию могли записать и как Круковский, и как Круковскай — в зависимости от грамотности писаря и местных говоров. В современной России фамилия Круковскай встречается редко и чаще всего у потомков белорусских переселенцев.

Сравнение с однокоренными фамилиями: Круков — это прямая патронимическая форма («сын Крука»), Крук — исходное прозвище, а Круковский — дворянский или шляхетский вариант. Круковскай стоит особняком: он сохранил местный колорит и не подвергся «обрусению» окончания. Если вы носите эту фамилию, ваши предки, скорее всего, были крестьянами или мещанами из западных губерний, и фамилия закрепилась за ними по месту жительства, а не по знатному происхождению.