Фамилия Куунтыш — редкая и примечательная тем, что её происхождение почти наверняка не связано с русским языком. Её основа Куунтыш не имеет славянских корней, а в русских говорах, ономастиконе и исторических документах подобное слово не встречается. Это не значит, что фамилия «ненастоящая»: напротив, её уникальность как раз в том, что она указывает на иноязычное происхождение рода, скорее всего, тюркское.

В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском, алтайском) основа «куунтыш» или близкие к ней формы могут состоять из двух частей: «куу» (преследовать, гнать, догонять) и «тыш» (внешний, наружный, а также суффикс отглагольного существительного). В таком разборе Куунтыш могло быть древним личным именем-пожеланием, которое давали мальчику, чтобы он был быстрым в погоне, удачливым охотником или воином. В тюркской традиции такие имена были распространены: они описывали желаемое качество или действие.

Важно, что фамилия Куунтыш оформлена без типичных русских суффиксов (-ов, -ев, -ин, -ский). Это указывает на то, что она либо была записана в документах в исходной форме (что характерно для фамилий татарских мурз, башкирских родов или народов Сибири при переходе в русское подданство), либо является поздней, «кабинетной» фиксацией в советское время, когда людям могли записывать фамилию так, как они сами её произносили.

Географически фамилия Куунтыш сегодня встречается единично, преимущественно в Сибири (Кемеровская область, Хакасия) и в Башкортостане. Это подтверждает версию о тюркской основе: на Алтае или в Хакасии слово «куунтыш» могло быть родовым прозвищем или именем, а впоследствии закрепилось как фамилия. В русском языке она не склоняется по падежам (как и другие фамилии на согласный, не оканчивающиеся на -ов), что тоже говорит о её «нерусском» происхождении.

Таким образом, носитель фамилии Куунтыш почти наверняка имеет предков из тюркоязычной среды (татары, башкиры, алтайцы, хакасы). Сама фамилия, скорее всего, образована от личного имени со значением «преследующий», «догоняющий» или «тот, кто гонит врага». Это имя давали с пожеланием силы и удали.