Фамилия Куюкинова — женская форма, а мужская, Куюкинов, образована по стандартной русской модели с суффиксом -ов. Основа здесь — прозвище или именование Куюк. Это слово не имеет очевидных славянских корней, и его происхождение, скорее всего, связано с тюркскими языками, что типично для фамилий, возникших в зонах длительного контакта русских с тюркскими народами — в Поволжье, Приуралье или Сибири.

В тюркских наречиях «куюк» (или близкие формы) может означать «сожженный», «опаленный» или относиться к чему-то высохшему, жгучему. В некоторых диалектах «куюк» — это и название растения, например полыни, которая горит горько и оставляет запах. Вполне вероятно, что Куюком прозвали человека с обожженной кожей, либо того, кто жил на выжженной земле, либо даже обладателя резкого, «жгучего» характера. Встречается и значение «глухой, не слышащий» — в ряде тюркских языков это слово приобрело переносный смысл. Какая из версий верна для конкретного предка, сегодня сказать трудно, но ясно одно: прозвище было дано по внешнему или поведенческому признаку.

Словообразовательная модель фамилии — типично русская: тюркское прозвище + русский патронимический суффикс -ов. Это говорит о том, что носитель прозвища Куюк (или его отец) уже был крещён и включён в русскую общину, а его потомки получили фамилию по отцу. Фамилия редкая, встречается в основном среди татар, башкир и русских, исторически живших по соседству. Встречаются варианты написания с одной «н» — Куюкинова, но двойное «н» в суффиксе женской формы — норма современной орфографии.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Куюков, Куюкбаев — подтверждает тюркскую природу корня. В фамилии Куюкинова суффикс -ин не использован, хотя он возможен от имени Куюка, но закрепился именно -ов, что указывает на фиксацию фамилии в документах уже после XVI века, когда модель с -ов стала доминирующей. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах Оренбургской, Уфимской или Казанской губерний — там такие прозвища были не редкостью.