Фамилия Куюкинов — редкая и неоднозначная, и её разбор упирается в неочевидную основу. В ней чётко выделяется тюркский суффикс -ин, который в русских фамилиях указывает на принадлежность: «чей?» — сын Куюкина. Но что такое «Куюка»?

Самая вероятная версия отсылает к тюркскому слову «куюк» или «куйук» — «ожог», «ожоговый», «обожжённый». В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) это могло быть прозвищем человека со следами ожогов на лице или теле, либо того, кто занимался выжигом угля или обжигом глины. В таком случае Куюкинов — сын человека по прозвищу Куюк. Учитывая, что фамилии на -ин у русских и крещёных татар часто образовывались от прозвищ, а не от имён, эта версия самая прямая.

Вторая гипотеза, менее вероятная, но не отбрасываемая: основа могла быть связана с диалектным русским словом «куяк» — так в южных говорах называли кожаный панцирь, доспех или стёганку. Если предок носил такую одежду, его могли прозвать Куяком, а в родительном падеже — Куюка, отсюда Куюкинов. Однако форма «Куюк» (с у) в русских говорах не зафиксирована, поэтому эта версия построена на сближении, а не на прямом источнике.

Географически фамилия тяготеет к Поволжью и Приуралью — регионам, где веками жили татары, башкиры и русские, активно заимствовавшие тюркские прозвища. Встречаемость Куюкиновых в современных базах данных крайне низкая, что говорит о локальном бытовании, возможно, в одном-двух селениях. Сословно носители могли быть как государственными крестьянами, так и служилыми людьми (например, толмачами или казаками), поскольку тюркские корни часто указывают на смешанное происхождение.

В ономастике эта фамилия — хороший пример того, как редкое прозвище застыло в патрониме, не успев обрасти вариантами. Если вы ищете предков, стоит смотреть не столько на общие списки, сколько на подворные переписи конца XIX века по Казанской, Уфимской или Оренбургской губерниям.