Фамилия Куюмжиди — одна из тех, что сразу выдают географическую и этническую привязку носителя. Её структура прозрачна: основа «Куюмж(и)» и греческий суффикс «-иди», который в русской передаче часто закрепляется как «-ди». В греческой ономастике суффикс «-идис» (или «-иди») означает «сын» или «потомок», то есть фамилия строится по отчественной модели. Таким образом, Куюмжиди — это «сын Куюмжи» или «из рода Куюмжи».

Разбираем основу. Слово «куюмжи» — тюркское, от «куюм» (кувшин, сосуд) и аффикса профессии «-джи». В османском и крымскотатарском языках «куюмджу» — это мастер, который делает кувшины, горшки, глиняную посуду, то есть гончар. Фамилия образована от прозвища или ремесленного обозначения предка: Куюмжи — гончар. Тюркская лексическая основа в греческой фамилии — не редкость для понтийских греков, которые столетиями жили в Османской империи и активно заимствовали бытовую лексику. Поэтому Куюмжиди — типичная фамилия греков-понтийцев, выходцев из Причерноморья (историческая область Понт, современный северо-восток Турции).

С точки зрения словообразования, фамилия не прошла через русскую суффиксацию (-ов, -ев, -ин), а сохранила исходную греческую модель. Это отличает её, например, от фамилии Куюмжев, где тюркская основа уже обрусела. В паспортах и документах фамилия закрепилась именно в форме Куюмжиди, что указывает на относительно позднюю миграцию носителей в Россию (конец XIX — начало XX века, после русско-турецких войн и обмена населением). Географически фамилия встречается в Краснодарском крае, Ставрополье, Ростовской области, а также в Греции, куда понтийцы репатриировались в XX веке.

Итог: предки человека с фамилией Куюмжиди были гончарами (куюмджи) среди понтийских греков. Фамилия недвусмысленно указывает на ремесло и этническое происхождение, а её форма — на сохранение греческой традиции именования.