Фамилия Кысса — редкий случай, когда написание почти не оставляет выбора: это не исконно русская модель, а скорее греческая или южнославянская по происхождению. В русской ономастике фамилии на -а, -я в именительном падеже мужского рода обычно указывают либо на украинскую (белорусскую) среду, либо на заимствование из других языков. Здесь мы имеем дело именно с заимствованием.

Наиболее вероятная версия — происхождение от греческой фамилии или прозвища Κίσσα (Кисса). В новогреческом языке κίσσα (kíssa) означает «сойка». Прозвище по птице могло закрепиться за человеком крикливым, пёстрым или просто получившим такое сравнение в детстве. В греческой диаспоре Северного Причерноморья, в Крыму и в городах юга Российской империи такие фамилии были нередки. Носители могли быть потомками греческих переселенцев времён Екатерины II или более поздних волн.

Вторая версия, менее распространённая, выводит фамилию из тюркских языков, где «кысса» (qıssa) — «история», «рассказ», «притча» (арабское заимствование). В этом случае прозвище мог получить сказитель, рассказчик или человек, любивший поговорить. Однако в тюркских фамилиях такое слово почти не встречается в качестве основы, а ударение в русском варианте (Кы́сса) нехарактерно для тюркских заимствований, где ударение обычно на конце.

Словообразовательная модель проста: фамилия не имеет русского суффикса (-ов, -ин, -ский), она застыла в форме чистой основы. Это типично для фамилий греческого происхождения, которые часто оставались без изменений при русификации (сравните: Кара, Папа, Христо). Встречается фамилия крайне редко, преимущественно в южных регионах России и на Украине, а также в среде потомков греков Приазовья. Если вы носите эту фамилию, скорее всего, ваши предки принадлежали к греческой общине, а их прозвище отсылало к лесной птице — сойке.