Фамилия Лакаев неоднозначна по происхождению, и у неё есть как минимум две совершенно разные версии, которые стоит разобрать отдельно.

Первая версия — бытовая, русская. Она связывает фамилию с прозвищем Лакай, которое образовано от глагола «лакать» — жадно пить. В этом случае прозвище мог получить либо человек, мучимый постоянной жаждой (например, путник, который часто просил воды), либо любитель хмельных напитков. По этой модели от прозвища через суффикс -ев и возникла фамилия: Лакай → Лакаев. Такое объяснение лежит на поверхности и интуитивно понятно, но не учитывает, что фамилия редка для центральной России.

Вторая версия — кавказская, и она выглядит более основательной. Лакай — это не прозвище, а этноним, то есть название представителя народа. Речь идёт о лаках — одном из коренных народов Дагестана. Именование Лакай мог получить человек, принадлежавший к этому племени или выходец из него. Само название «лак» исследователи выводят по-разному: одни связывают его с ираноязычным курдским племенем «лек» (что значит «сто тысяч»), другие переводят как «орёл». В любом случае, суффикс -ай в тюркских и кавказских именованиях часто имеет уменьшительное или ласкательное значение, так что Лакай могло быть и личным именем, производным от этнонима.

Таким образом, если носитель фамилии Лакаев имеет корни с Северного Кавказа, особенно из Дагестана, версия о происхождении от племени лаков — основная. Если же речь о русском человеке из регионов, где такого субстрата нет, более вероятно бытовое прозвище от глагола «лакать». Выбор между этими двумя объяснениями зависит от географии предков, и это как раз тот случай, когда без семейного предания или документальных данных окончательный ответ дать сложно.